Simulando um Pistão Mecânico

Um bom exercício de Cálculo 1 para propor a uma turma de Engenharia Mecânica é o da modelagem do movimento de um pistão mecânico. A figura abaixo esquematiza a estrutura que modela o pistão: a barra de conexão AP tem comprimento 1.2 m e a extremidade A está presa a uma roda com raio de 40 cm que gira no sentido anti-horário. A extremidade P do pino desliza para frente e para trás ao longo do eixo x.

Vários conceitos de Cálculo 1 podem ser explorados neste problema: regra da cadeia, taxas relacionadas e otimização. Por exemplo:

1. Os ângulos θ e α indicados na figura dependem do tempo e suas taxas de variação estão relacionadas pela equação α'(t) = (cos(θ)/3cos(α)) θ'(t).
2. É possível expressar a área do triângulo AOP  em função do ângulo θ e descobrir qual é o valor de θ que produz a área máxima.

Os detalhes do problema do pistão podem ser encontrados em [1]. Em [2], os autores propõem a a modelagem e resolução desta situação como uma atividade computacional. A animação abaixo foi produzida no software Geogebra pelos alunos do primeiro período de Engenharia Mecânica da UNIFEI: Bruno Marques de Souza Rangel, Leonardo Mourani Mansano e Mateus Martins Nogueira. Para visualizar a animação é necessário ter Java instalado e atualizado no computador.

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Referências:

[1] Cálculo - Volume 1, J. Stewart, Editora Cengage Learning, Sexta Edição, 2010.

[2] Cálculo com Aplicações: Atividades Computacionais e Projetos, V. L. X. Figueiredo, M. P. Mello, S. A. Santos, Coleção IMECC, 2005.

Aplicações da Derivação: Descida de um Avião

A descida de um avião em um aeroporto pode ser representada de forma simplificada por um polinômio cúbico:

p(x) = ax³ + bx² + cx + d

Para isso, supomos que a altitude da aeronave é h quando a descida começa a uma distância horizontal l do aeroporto (situado na origem do plano cartesiano). Além disso, pedindo que p'(l) = 0 e p'(0) = 0, conseguimos determinar todos os coeficientes de p(x) em função de h e l. 

Na animação abaixo, o 14 Bis desce até a pista seguindo a trajetória descrita pelo polinômio (linha pontilhada). Observe que no início e no fim da trajetória a derivada primeira de p(x) é nula. A animação foi criada no software Geogebra pelos alunos do primeiro ano de Engenharia Elétrica da UNIFEI:  Arthur Gasperotto Sacchi, Fábio Martins Filho e Juan Pedro Baena Cassal. Para visualizá-la é necessário ter Java atualizado no computador. Mais detalhes do problema podem ser encontrados em [1].

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Referências:

[1] Cálculo - Volume 1, J. Stewart, Editora Cengage Learning, Sexta Edição, 2010.

Erros em cálculo de limites

Estudantes de ciências exatas que cursam a disciplina de Cálculo 1 nas universidades brasileiras não podem fugir do cálculo de limites. Mostramos abaixo três erros comuns cometidos por estudantes em exercícios envolvendo limites:

(1) O primeiro engano aparece em limites onde devemos racionalizar a função, multiplicando e dividindo pela soma ou subtração de raizes. CUIDADO: em geral, não é verdade que a raiz da soma é a soma das raizes. Faça um exemplo simples considerando a = b = 3. 

(2) Em limites trigonométricos, muitos alunos empregam esta falsa identidade. Devemos lembrar que a função seno NÃO é linear. A identidade correta é o seno da soma: 

sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a).

(3) A indeterminação 0/0 ocorre também em muitos limites. É errado concluir que 0/0 = 0. Se esta indeterminação aparece no cálculo de um limite, devemos aplicar algum tipo de manipulação algébrica para tentar contornar o problema.

Você consegue resolver as questões abaixo sem cometer os erros que citamos acima? Tente! Quais são suas dificuldades? Relate nos comentários. Bons estudos!

 Respostas - Questão 1: a) 1 / (2√3)   b) -π    Questão 2: √2